PENERAPAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA

PENERAPAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA

Disusun oleh:

                                                      Nama        : Mariani manik

                                                      Kelas         : DIK A 2012

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIMED

I.       LATAR BELAKANG

           Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.

Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan dengan diferensial kalkulus.

II.    PERMASALAHAN

1.      Bagaimana penerapan Turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan?

2.      Bagaimana penerapan Turunan dalam menurunkan rumus rumus fisika ?

III. TUJUAN

1.      Untuk mengetahui bagaimana penerapan turunan dalam bidang fisika

2.      Untuk memenuhi tugas akhir kalkulus 1

IV. KAJIAN TEORI SINGKAT

Turunan

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik.

.

Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.

.

Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju perubahan di mana fungsi tersebut berubah.

Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

.

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.

Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x² pada titik (3,9):

Integral

Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan.

Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F.

Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x.

Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu

Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.

                                                

Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan b.

Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir.

Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.

Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral tertentu ditulis sebagai

dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x."

Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:

.

Oleh karena turunan dari fungsi y = x² + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),

.

Teorema dasar

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi dari integral, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

                                  

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.

Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan dengan diferensial kalkulus.

V.    PEMBAHASAN

Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan

Kecepatan rata-rata =     =

Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan

      v(t) =

Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan

a(t) =

dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungs kecepatan. Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu:

a(t)  =  =  ( ) =  = s”(t)

Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus

Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :

1. Momentum Sudut

            Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r  p sin q. Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r  (p sinq) = r p_^ atau l = p  (r sinq) = p r_^ .

            Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :

                         = d (r x p)/dt

                        = (r x ) + (  x p)
 

                        = (r x F) + (v x mv)

       

                        = t         
     

                        = F

2. Torsi

            Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah :

                                t = r x F

            Arah torsi t searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut dq dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r dq. Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini

                                dW = F . ds

                                dW = F cos f ds

                                dW = (F cos f) (r dq)

                                dW = t dq           dW = F . ds

Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :

                                dW/dt = t dq/dt

                   P = t w                           P = F v

            Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya.

                        dW/dt = dK/dt

                              dW/dt  = d(1/2 I w²)/dt

                                    t w    = 1/2 I dw²/dt

                        t w    = Iw dw/dt

                              t w    = Iw a

                        t   = I a                      F = m a

Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t²+9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :

a. Kecepatan pada waktu t?

b. Kecepatan setelah 2 detik?

c. Kapan partikel berhenti?

d. Kapan partikel bergerak maju ?

Jawab :

a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.

    s=f(t)=t³-6t²+9t

    v(t)= =3t²-12t+9

b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2

    v(t)= =3t²-12t+9

    v(2)= 3(2)²-12(2)+9=-3m/dt

c. Partikel berhenti jika v(t)=0

   v(t)= 3t²-12t+9=0

   ó3t²-12t+9

   ó3(t²-4t+3)

   ó3(t-1)(t-3)=0

   ó t1=1 dan t2=3  Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3 

d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0

    3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0

    ® Partikel bergerak maju jika

    t<1 atau t>3 (dari mana ?)

    ® Partikel bergerak mundur jika

    1<t<3

VI. KESIMPULAN

1.      Dengan adanya turunan kita dapat atau menyelesaikan permasalahan fisika.

2.      Turunan dapat menyelesaikan permasalahan dengan cara yang lebih mudah dan gampang sehingga banyak bidang yang menggunakannya

3.      Fisika termasuk bidang yang  sangat berhubungan dengan matematika yaitu Turunan.

VII.          DAFTAR PUSTAKA

Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5

James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

Varberg, Purcell, Rigdon. 2004. Kalkulus Edisi 8. Jakarta : Erlangga